Integraalipäivät 2021

Johdanto

Ruotsalainen alkuperä https://www.kleindagarna.se/

Muita muistiinpanoja https://cod3v.info/index.php?title=Notes_on_seminars,_videos_and_books#Courses

Teoriaa

HARPPIFESTIVAALIT: marraskuu 2021.

Blockly, Processing.

Samuli Siltanen: Valokuvat & videot

Filttereitä, normeeraus. Matriisilaskenta. GIMP.

Myös fysiikkaa: nopeus, värivastefunktiot (tappisolujen herkkyyskäyrät).

• Kanavat
• Negatiivikuvat
• Yhteenlasku. Maksimi on valkoinen, pitää skaalata

1. kuvaus yhdellä valolla: yhdistetään

• Kertolasku.

1. Valkoisella (1, 1-bittinen), mustalla (0, 1-bittinen)
2. Sileä ykkösen ositus.

• Tilastolliset tunnusluvut

1. Keskiarvo: Haamuja
2. Mediaani: Poistaa ihmiset
3. Moodi
4. Histogrammi

• Neliöjuuri: Curves, vaalentaa kuvat.
• Logaritmit ja gammakorjaus: Vanhojen kellastuneiden kuvien korjaus.

1. Valkoinen
2. Gammakorjaus punaiselle: r^gamma = g. (r=208/255, g = 184/255). Sama gamma kaikille punaisen pikseleille. Sama uusi gamma kaikille sinisen pikseleille.

• min, max, sqrt

1. tummat tummenee, vaaleat vaalenee

• derivaatta (vaaka, pysty ja aika)

1. Sarakkeiden erottaminen toisistaan: pysty
2. Vaakaarakkeiden erottaminen toisistaan: vaaka
3. osittaisderivaatat
4. Reuna-algoritmi, itseisarvo. FFT

• Aikaderivaatta. Tuomo Rainio; tanssin ja derivaatan yhdistelmä videolla

1. Ahvenenpoisto yhtälöryhmillä. Harmoninen kuvanpaikkaus.
2. Poisson'n yhtälö, Dirichlet'n ongelma

• Peilaus, flip, flop
• Epälineraarisuus
• Napakoordinaatit
• Epälineaariset muunnkset, esim. suuret silmät warpilla
• Beltramin yhtälöt
• Tynnyrivääristymät
• Affiinimuunnokset
• Kuvan pakkaaminen (Wavelet)
• Rotaatiot

Taulukkolaskennassa.

Maarit Järvenpää: Fraktaalien matematiikkaa

Mitä ovat, mitä työkaluja käytetään. Minkälaisissa matemaattisissa ongelmissa fraktaaleihin törmätään. Fraktaalimittojen massajakaumien matikkaa. Analyysi, mitta- ja integraaliteoria, dynaamiset systemit, lukuteoria. . . Romanesco.

• Wikipedia: Mandelbrot Zoom
• Neulankääntöongelma (Kakeya 1917). Paras konveksi joukko tasasivuinen kolmio: $A=1/{\sqrt {3}}$ (Pal 1921). Ei-konveksi joukko Steinerin käyrän sisäpuoli: $A=\pi /8$. Mielivaltaisen pieni $A$ Besicovitch (1919, 1928). Janan siirtäminen jatkuvasti suoralta toiselta.
• Cantorin joukko: Poistetaan rekursiivisesti keskeltä kolmannes. $C=\cap _{k=1}^{\infty }\cup _{i=1}^{2^{k}}I_{k,i}$. Cantorin koukon pituus $\ell (C)\to 0$. Mitkä pisteet kuuluvat Cantorin joukkoon? Pisteet vastaavat nollien ja ykkösten muodostamia päättymättömiä (bitti)jonoja: Osoite, tai koodi. Esim: $0=0000...$, $1=1111...$, $1/3=0111111...$ ?? <- tarkista nuo. (Ketjumurtoluvut ja Cantorin joukko!). Cantorin joukko on ylinumeroituva: Perustelu helppo.
• Kochin käyrä. $\ell (K)=4^{k}\cdot 3^{-k}\to \infty$. Tasoss pinta-ala (kun neljän neliön konstruointi) $A(C)=4^{k}\cdot 3^{k}\cdot 3^{k}\to 0$. Cantorin satunnaisjoukko tasossa.
• Fraktaalimitta: dimensio. Useita eri dimension käsitteitä. Hausdorffin mitta. Minkowskin dimensio.

Soluautomaatti.

Mats Gyllenberg: Tartuntautien matematiikkaa

Matematiikalla pystytään selittämään, minkä tavalla asiat käyttäytyy, miten ne käyttäytyy. Vrt: Kepler/ Newtonin mekaniikkaa.

Kuinka suuri populaatiosta sairastuu epidemiaan. YO K12/8: Virukseen ei voi sairastua -- viruksen aiheuttamaan tautiin voi sairastua. Kaikki eivät sairastu epidemiaan: esim. musta surma. Minkä takia kaikki eivät sairastu? Malaria (Sir Ronald Moss??) Plasmadium-niminen alkueläin. Riittää, että saadaan hyttysten lukumäärä tietyn lukumäärän alapuolelle -- sekin vaikeaa. Suomessa malariaa Porkkalasta 1956?? Suomessa elää neljää lajia hyttystä, jotka voivat levittää malariaa.

Kynnysilmiö

Katso Maxima-lasku

Rokotus. Vihurirokko Suomessa 1970-luvun alussa. Vihurirokko lievä lastentauti, mutta vaarallinen sikiölle, jos raskaana oleva nainen sairastuu raskauden ensimmäisen kolmen kk:n aikana. Ohjelman aikana raskaudenaikaiset tapaukset lisääntyivät -- tapa jolla rokotusohjelma toteutettiin, oli pielessä.

Malli: Suljettu populaatio jaetaan kolmeen osaan: S(eptable), I(nfected) ja R(emoved, toipuvat tai kuolleet). $S\to I\to R$

${\begin{aligned}dS/dt&=-\beta SI\\dI/dt&=\beta SI-\alpha I\\S+I+R&=N={\text{vakio}}\end{aligned}}$

Jotta epidemia voisi syntyä, $dI/d0>0$ alussa, kun $S=N$.

$\beta N-\alpha >0$

$R_{0}\equiv {\frac {\beta N}{\alpha }}>1$

Jos $R_{0}<1$: $1+R_{0}+R_{0}^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-R_{0}}}$ on pieni luku. Ei synny epidemiaa.

Jos $R_{0}>1$: $1+R_{0}+R_{0}^{2}+\cdots \to \infty$. Alussa kasvaa eksponentiaalisesti.

Mitä $\beta$ tarkoittaa: $\beta =pc$, missä $p$ todennäköisyys leviämiseen ja Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} kontaktien lukumäärä. Suomessa 150 vuotta sitten samassa huoneessa asui monta ihmistä, nyt vähemmän: ei ole kontakteja.

Montako sairastuu tautiin? Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = S/N} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=I/N}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} ds/ dt &= -\beta Nsi \\ di/ dt &= \beta Nsi - \alpha i \\ \end{align}}

Ratkaistaan käyrä Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle si} -tasossa: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle di/ds = -1 + \frac{\alpha}{\beta N} \frac1s = -1 + \frac1{R_0} \frac1s} . Joten Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i = -s + \frac1{R_0}\ln s + C} . Alussa Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t\to-\infty} ; Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\to0} ja Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s\to1} . Siis Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C=1} ja

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i = 1 - s + \frac1{R_0}\ln s}

Kun epidemia on ohitse: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t\to\infty} . Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} on negatiivinen ja alhaalta rajoitettu: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s\to s(\infty)} . Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} :n raja-arvo on nolla.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln s(\infty) = R_0( s(\infty) - 1 ) }

Ratkaistaan Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} graafisesti. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s(0)} , osuus joka ei koskaan sairastu.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0 = \frac{\beta N}\alpha} . Jos rokutusohjelma, niin (kausi-inlfuenssi, jolloin rokote annetaan ennen taudin alkua). Kuinka iso osuus populaatiosta pitää rokottaa, jotta epidemiaa ei syntyisi.

Rokotuskattavuus Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} . Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_E = {1-f}{R_0} < 1} , niin epidemiaa ei synny. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f > 1 - \frac1{R_0}} . Kausi-influenssassa Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0 = 2\dots3} , jolloin Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \approx 2/3 \approx70\%} .

Vihurirokko

Vihurirokkotapaus. Edellinen oli suljettu populaatio.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} dS/ dt &= B -\beta SI -\mu S \\ dI/ dt &= \beta SI - \alpha I -\mu I \\ \end{align}}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta = \mu N} , jolloin kuolleisuus ja syntyvyys on tasapainossa ja analyysi helpottuu aika tavalla.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0 = \frac{\beta N}{\alpha+\mu}}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_E = (1-f)R_0}

1970-luvulla rokotettiin vain tytöt: pojille tauti on täysin vaaraton. Sairastumisiän odotusarvo. Ensin todennäköisyystiheys, a on ikä.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dS/dt = dI/dt = 0} . Tasapainokohta Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{s} = N/R_0} . Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline I = \frac{\mu}{\beta}(R_0-1)} .

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi(a) = (\mu + \beta \overline I) e^{-(\mu + \beta)I}}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline a = \int_0^\infty a\phi(a)da = \frac1{\mu R_0}} . Rokotus: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline a = \frac1{\mu R_E}} . Sairastumisiän odotusarvo kasvaa, jos huonosti suunniteltu ikä. Vihurirokolle Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0 \approx 7} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1\mu \approx 80} (eliniän odotus). Ilman rokotusta Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline a = 80/7 = 11} . Rokotus oli vain tytöille, joten Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\approx 0.4} , joten Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline a = 1/(\mu 0.6 \cdot7) \approx 20} vuotta.

NetLogo

Lotka Volterra

Taulukkolaskennalla

Summamutikka: Evoluutiopuu

Riikka Kangaslampi: Verkot, kaarevuus ja verkkojen kaarevuus

Uusia tutkimusaiheita syntyy rajapinnoilta.

Verkot

Historiaa

• Euler ja Königsbergin sillat 1736
• Kirchoff ja virtapiirit 1847
• Caley ja hiilivedyt 1857
• Hamilton: Around the world dodekaedrin solmujen kiertämisessä 1859
• Neliväritysongelma 1859. Kolmiväriteoria on helppo osoittaa vääräksi, viisiväriteorian todistaminen on lukiokamaa.

Verkko on pari Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (V,E)} , missä Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V=\empty} ovat verkon solmut ja Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E \subseteq \{\{ a,b\}\}|a,b\in V\}} on verkon solmujen välisten särmien joukko.

Yksinkertainen verkko: Kahden eri solmun välillä korkeintaan yksi särmä, eikä mikään särmä saa olla luuppi Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{v,v \}} .

Multiverkossa ei ole luuppeja, mutta saa olla useita särmiä.

Pseudeverkossa on myös luuppeja.

Solmun aste deg(). Suuntaamattoman graafin Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (V,E)} solmun Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v\in V} aste on niiden särmien lukumäärä, joiden päätesolmuna on solmu Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} . Luupilla on kaksinkertainen päätesolmu.

Cubic graphs

Lause: Kättelylemma, Jokaiselle verkolle Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (V,E)} pätee

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{v\in V} deg(v) = 2|E| }

Todistus. Helppo.

Määritelmä. Verkko Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G=(V,E)} on säännöllinen, jos kaikilla solmuilla on sama aste. Erityisesti, jos jokaisen solmun aste on Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} , niin verkko on Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} -säännällinen. (Tsekkaa: Perersenin verkko on 3-säännöllinne).

Polku on solmujono. Polun pituus on sen särmien lukumäärä.

Solmujen Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} ja Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} etäisyys Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(u,v)} on lyhimmän niiden välisen polun pituus.

Kaarevuus

Litteä. Jalkapallo. Hyperbolinen pinta eli esim. koralli kaareutuu laajemalla ulospäin.

taso on litteä, jos siinä olevien kulmien summa on 180 astetta. Sen kaarevuus on nolla.

Positiivisesti kaarevalla pinnalla (pallopinta) kolmion kulmien summa on yli 180 astetta. Esim. pallo. Mitä tarkoittaa kulma. Suora vs geodeesi. Piirrä tyhjään ilmapalloon kolmio ja puhalle se täyteen.

Negatiivisesti kaarevalla (torvi, koralli) pinnalla kulmien summa < 180 astetta.

Toinen tapa! Jos tasoon piirretään kaksi kiekkoa, jotka leikkaavat toisensa, niin tietty osa niiden pinta-alasta on päällekkäin. Pallopinnalla leikkauspinta-ala on suurempi. Negatiivisella hyperbolisella pinnalla yhteinen pinta-ala jää pienemmäksi.

Olkoot Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ja Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} kaksi pistettä pinnalla ja olkoon Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon > 0} . Pos kaareutuneella pinnalla Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(x,y)} on suurempi kuin etäisyyksien Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(x+v, y+v)} keskiarvo yli kaikkien epsilon-pituisten vektorin Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} . Jos kaarevuus on nolla, keskimääräinen etäisyys on sama kuin keskipisteiden välinen etäisyys. Negatiivisella kaareutuvalla pinnalla keskimääräinen etäisyys on pienempi.

Metriikka.

Riemannin monistejen tapauksessa kaarevuutta kutsutaan Ricci-kaarevuudeksi.

Verkkojen kaarevuus

Särmien kaarevuus.

Ollivier--Ricci-kaarevuus: Pallo pisteen ympärillä korvataan tn-jakaumalla ja etäisyys Wasserstein-etäisyydellä.

Olkoon Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G=(V,E)} yksinkertainen verkko. (Jaetaan naapueille tasan 1). Todennäköisyysjakauma Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_v, v\in V} seuraavasti

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \mu_v = \begin{cases} \frac1{deg(u)}, && \text{jos } \{\mu, v\} \in E \\ 0, &&\text{muulloin} \end{cases} \end{align} }

Satunnaiskävelyn tn-jakauma.

Määritelmä: Kahden tn-jakauman välinen Wassrsteinin etäisyys on (kuinka suuri työ tarvitaan, että jakauma muutetaan toiseksi jakaumaksi, kuljetusfunktio)

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_1(\mu_1, \mu_2) = \inf_\pi \sum_{v\in V} \sum_{u\in V} d(u,v)\pi(u,v) }

missä infinum lasketaan yli kaikkien kuljetusfunktioiden Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi: V\times V\to [0,1]} , joille...

Määritelmä. Verkon Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G=(V,E)} särmän Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{u,v\}} O-R-kaarevuus on

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa(u,v) = 1 -W_1(\mu_v, \mu_u) }

Särmän kaarevuus on positiivinen, . . .

Sovelluksia:

• Kompleksiset biologiset verkot (syöpä, aivot, fylogeneettiset puut)
• Graph Curvature for Differentiating Cancer Networks (Nature)
• Finanssiverkkojen haavoittuvuus
• Internetn topologia
• Kvanttipainovoima
• Metroverkkojen kaareutuvuus: Ruuhkaisilla ---, jotta pääsee nopeasti paikasta toiseen.

mas.ncl.ac.uk/graph-curvature/

Myös solmujen kaarevuus.

Harjoituksia

• Digitaalinen aurinkokello, Kenneth Falconer (1980-luvulla). Häiriöitä tulee, mutta niiden mitta on nolla.

• mathigon

• Chaos game.

• Fraktaalien reunat (Pythagoras, Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt2} , milloin pituudet lähenevät toisiaan). Huom: kolmiot hypotenuusalla.

Viitteitä

Kuva:

• https://maol.fi/app/uploads/2020/09/MAOL_paja5_mustavalkoista.pdf
• https://maol.fi/app/uploads/2020/09/maol_mustavalkoista_taidetta_biteilla.pdf

• https://www.dropbox.com/s/bpwjrpmevslxgzw/Kamppivideo_yhdistetty.mp4?dl=0

Fraktaali:

• https://www.youtube.com/watch?v=j-dce6QmVAQ
• http://ekroc.weebly.com/uploads/2/1/6/3/21633182/mscessay-final.pdf
• Multifractal analysis of sentence lengths in English literary texts

Kaarevuus:

• https://arxiv.org/pdf/1501.04138.pdf ja https://www.slideshare.net/ChienChunNi/ricci-curvature-of-internet-topology